کلاس دوم راهنمایی

ریاضی( توضیح دروس )


مجموعه :   مجموعه به معنای گرد آورده شده است و در ریاضی دسته یا گروهی از اشیاء یا موجودات که اعضای آن دو بدو متمایز و مشخص باشند .     مثال Å مجموعه اعداد طبیعی مثال Å مجموعه حروف الفبای فارسی مثال إ مجموعه ی بازیکنان تیم ملی فوتبال بزرگسال ایران در سال 85 زیر مجموعه :   دو مجموعه A و B را در نظر می گیریم . B را زیر مجموعه A گویند هر گاه هر عضو B عضو A باشد .   مثال Å مجموعه ی اعداد زوج زیر مجموعه ی اعداد طبیعی مجموعه ی حروف بی نقطه ی الفبای فارسی زیر مجموعه مجموعه حروف الفبای فارسی مجموعه ی دروازبانهای تیم ملی فوتبال بزرگسالان ایران در سال 85 زیر مجموعه مجموعه بازیکنان تیم ملی فوتبال بزرگسالان ایران در سال 85   مجموعه { 1،2 } B= زیر مجموعه { 1،2،7 }A=     این مطلب را به صورت B  A می نویسیم و می خوانیم : B زیر مجموعه ی A است .   مجموعه تهی :   تهی، به معنی خالی و مقابل کلمه پر می باشد و در ریاضی مجموعه ای را که عضو ندارد ، مجموعه تهی      می نامیم .مجموعه تهی را با  (بخوانیم فی) نشان می دهیم . بیشتر بدانید ...   1- مجموعه های مساوی :  دو مجموعه A و B را مساوی گویند هر گاه تمام اعضای A عضو B و تمام اعضای B عضو A باشند . به بیان ریاضی می توان گفت : « اگر A Ì B و B Ì A باشد ، آنگاه A=B  » مثالÅ مجموعه { 1،2،3،4 }A =   با مجموعه مساوی هستند .   2- مجموعه های معادل : دو مجموعه در صورتی با هم معادل هستند که تعداد اعضای آن ها با هم برابر باشند . مثال  مجموعه ی { ب،د،ج } M =  با مجموعه ی { 1،2،3 } N = معادل هستند .   3- مجموعه متناهی یا نامتناهی : اگر تعداد اعضای یک مجموعه محدود باشد ، به آن مجموعه متناهی گویند . اگر تعداد اعضای یک مجموعه نامحدود باشد ، به آن مجموعه نا متناهی گویند . مثال  مجموعه ی { 9،...،1،2،3 } A = یک مجموعه متناهی است و مجموعه ی { ....،15 ،10 ،5 } B = یک مجموعه نامتناهی می باشد . 4) تعداد زیر مجموعه های هر مجموعه :  تعداد زیر مجموعه های هر مجموعه n عضوی از دستور 2n  بدست می آید .   { a }  :     {},{a} { a,b } : {},{a},{b},{a,b} { a,b,c } :{},{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}      با توجه به جدول بالا می توان رابطه ی بین تعداد عضوهای یک مجموعه و تعداد زیر مجموعه ها را مشاهده کرد . تعداد عضو مجموع :  n تعداد زیر مجموعه : n 2 =n)مرتبه)2×...×2×2   تعداد عضو 1 2 3 ... n تعداد زیر مجموعه 2 2×2 2×2×2 ... n)مرتبه)2×...×2×2 عدد تواندار 21 22 23 ... 2n     مثال Å تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه 10 عضوی 210 می باشد . به عبارت دیگر مجموعه 10 عضوی 1024 زیر مجموعه دارد . )تعداد زیر مجموعه های : الف: تعداد زیر مجموعه های یک عضوی از یک مجموعه ی  n عضوی ، n تا می باشد .   ب: تعداد زیر مجموعه های دو عضوی از یک مجموعه ی n عضوی ، می باشد . (2 ≤ n )   ج: تعداد زیر مجموعه های سه عضوی از یک مجموعه ی n عضوی ، ، می باشد. (3 ≤ n )   Å مثال مجموعه یA= { a,b,c,d }   را در نظر بگیرید.   تعداد زیر مجموعه های یک عضوی از مجموعه ی A برابر است با 4   تعداد زیر مجموعه های دو عضوی از مجموعه ی A برابر است با 6     تعداد زیر مجموعه های سه عضوی از مجموعه ی A برابر است با 4     مثالمجموعه { موز ، هندوانه ، پرتقال ،گیلاس } A= را در نظر بگیرید .   حالت اول : اگر بخواهیم از بین میوه های بشقاب فقط یکی از میوه ها را برداریم و میل کنیم چند حالت برای انتخاب کردن داریم ؟ جواب : 4 حالت   پس تعداد زیر مجموعه های یک عضوی از یک مجموعه ی4 عضوی 4 تا می باشد .     حالت دوم : اگر بخواهیم از بین میوه های بشقاب دو تا برداریم و میل کنیم چند حالت برای انتخاب کردن بوجود می آید ؟ جواب : 6 حالت     پس تعداد زیر مجموعه های دو عضوی از یک مجموعه ی 4 عضوی برابر 6 تا می باشد .     حالت سوم : اگر بخواهیم از بین میوه های بشقاب سه تا برداریم و میل کنیم چند حالت برای انتخاب کردن داریم ؟ جواب : 4 حالت   پس تعداد زیر مجموعه های سه عضوی از یک مجموعه ی 4 عضوی برابر 4 تا می باشد . عدد صحیح   عدد صحیح: صحیح به معنی تندرست ، سالم و درست می باشد و هر یک از اعداد 0 , 1 ± , 2 ± , ... را یک عدد صحیح می نامیم . مجموعه عدد های صحیح: مجموعه ای است شامل تمام عدد های صحیح این مجموعه را با حرف Z که از کلمه آلمانی zahlen به معنی عدد صحیح گرفته شده است ، نمایش می دهند.   یاد آوری ... 1- ترتیب عملیات : در عبارتهای که از پرانتز ، توان ، ضرب و تقسیم ، جمع و تفریق استفاده شده است ، ترتیب عملیات در محاسبه ی عبارت عددی به ترتیب زیر است : الف) کروشه یا پرانتز (حاصل آن را از داخلی ترین پرانتز بدست می آوریم .) ب) توان ج) ضرب و تقسیم (از چپ به راست عمل مربوطه را محاسبه کنید) د) جمع و تفریق (از چپ به راست عمل مربوطه را محاسبه کنید)     مثال حاصل عبارت مقابل را بدست آورید .   = 11 ÷ (3+(6-52)) 4 + 7 حل :                               15= 8+7 و 8= 11 ÷ 88  و 88 = 4 × 22  و 22 = 3+19  و 19 = 6-25 = 6-52   2- اصل ضرب :  اگر عملی به a طریق و عمل دیگری به b طریق و.... انجام پذیر باشند ، همه این اعمال با هم به a×b×…. طریق امکان پذیر است این موضوع اصل ضرب نامیده می شود .   مثال برای رفتن از شهر A به شهر B سه راه وجود دارد . از شهر B به شهر C نیز 2 مسیر مختلف وجود دارد حساب کنید برای رفتن از شهر A به شهر C چند مسیر وجود دارد ؟   حل: 6=2×3   Åمثال زهرا نقاشی مقابل را کشیده است  او می خواهد شلوار پسرک را سبز ، قرمز ، آبی  یا بنفش و پیراهن او را سبز ، زرد ، یا قرمز رنگ کند او به چند صورت می تواند این نقاشی را رنگ کند ؟ حل: 12=3×4            12 حالت     3- محاسبه ی مجموع اعداد :  گاوس یکی از ریاضی دانان نامی است که برای محاسبه ی مجموع اعداد یک دنباله روش جالب توجهی ارائه داده است . می خواهیم اعداد 1 تا n را با هم جمع کنیم ، برای این منظور با توجه به شکل داریم       برای محاسبه ی مجموع اعداد یک تا n  کافی است تعداد n + 1  ها را بشماریم .   به طور کلی برای محاسبه ی مجموع اعداد با اختلاف یکسا ن از رابطه ی زیر استفاده می کنیم :      مثال مجموع اعداد طبیعی از 1 تا 100 را محاسبه کنید.         Åمثال حاصل عبارت مقابل را بدست آورید .                       ? = 100 – 98 + .... + 5 – 3 +4 – 2 + 3 – 1       ×نکته:  چنانچه اعداد با فاصله ی یکسان (d) باشند برای بدست آوردن تعداد اعداد متوالی از n تا m     می توان از دستور مقابل استفاده کرد :     Åمثال  حاصل عبارت مقابل را بدست آورید . ? = 1000 + .... + 20 + 15++10 5     نکته: به تساوی های زیر برای بدست آوردن مجموع جملات یک دنباله ی عدد ی توجه کنید .       4- تعدادمقسوم علیه ها : اگر عدد A را به عوامل اول تجزیه کنیم ، تعداد مقسوم علیه های خود  عدد A از فرمول زیر بدست می آید :                  مثال  تعداد مقسوم علیه های عدد 72 را بدست آورید.      ×نکته: مجموع مقسوم علیه های عدد A از فرمول زیر بدست می آید :       Åمثال   مجموع مقسوم علیه های عدد 72 را حساب کنید .     5- یک نفر کاری را در a ساعت انجام می دهد ، نفر دوم همان کار را در b ساعت انجام می دهد . اگر هر دو با هم انجام دهند ، آن کار در ساعت انجام می شود .   Åمثال علی کاری را در 6 ساعت انجام می دهد حسن همان کار را در 4 ساعت انجام می دهد . اگر هر دو با هم کار کنند ، آن کار در چند ساعت تمام می شود ؟    2 ساعت و 24 دقیقه                                         نکته: اگر شخصی کاری را در a روز و نفر دیگر در b روز و نفر سوم  در c روز انجام دهند ، سه نفر با هم در روز انجام می دهند.   6- محاسبه تخفیف :  اگر فروشنده ای دو تخفیف متوالی m% و n%  برای کالایی در نظر بگیرد برای اینکه بدانیم چند درصد بهای اولیه کالا تخفیف داده است ،  از رابطه ی زیر استفاده می کنیم :   Åمثال  فروشنده ای در ابتدا برای کالایی%20 تخفییف داده است و پس از گذشت مدتی به منظور فروش بیشتر برروی قیمت کالا%10 تخفیف دیگر (برای قیمت جدید) در نظر گرفته است. حساب کنید تخفیف های متوالی%20 و%10 معادل با چه تخفیفی از قیمت اولیه کالا هستند؟   حل : روش 1 فرض کنیم قیمت اولیه کالا 100 تومان بوده است در این صورت: به طور کلی این فروشنده %28 تخفیف داده است .   حل : روش 2:   7- محاسبه ی درصد : اگر m لیتر اسید %n را به روی p لیتر اسید %q بریزیم ، درصد اسید حاصل از دستور زیر بدست می آید .             مثال  اگر 20 لیتر اسید %90 را بروی 30 لیتر اسید %80 بریزیم ، در صد اسید حاصل را حساب کنید . حل :     توان : توان به معنی قدرت ، قوه ، زور می باشد و در ریاضی نوعی ساه نویسی برای حاصل ضرب چند عد متساوی در یکدیگر می باشد . مثال: 3×3×3×3×3 دراین ضرب ، عدد 3 ، 5 مرتبه تکرار شده است که در ساده نویسی به صورت زیر نوشته      می شود : می نویسیم 35 و می خوانیم « سه ، به توان پنج » یا « توان پنجم ، 3 » . در ریاضی 3 پایه و 5 توان (نما) نامیده می شود و اعداد نظیر 35 را اعداد تواندار می گویند .     1 . می خواهیم به کمک اعداد تواندار نحوه ی پخش شدن شایعات ساختگی را بررسی کنیم .       مرحله صفر اول دوم سوم چهارم ... n ام تعداد افرادی که از شایعه ی پخش شده اطلاع دارند 1 3 3×3 3×3×3 3×3×3×3 ... 3×...×3×3 عدد تواندار 30 31 32 33 34 ... 3n   سوال: با توجه به جدول بالا در مرحله ی دهم چند نفر از شایعه پخش شده در جامعه مطلع هستند ؟ کاربرد ریاضی در زندگی و عمل دانش آموزان عزیز با توجه به جدول و نمودار شکل فوق نظرات خود را در مورد قبول کردن یا رد کردن حرفها و صحبت هایی که روزانه از دیگران می شنویم ، بیان کنید .     2- هر سلول به دو سلول تقسیم می شود تا تکثیر یابد . این مطلب را که در کتاب علوم خوانده اید در نمودار زیر مشاهده کنید .     مرحله صفر اول دوم سوم چهارم ... n ام تعداد سلول 1 2 2×2 2×2×2 2×2×2×2 ... 2×...×2×2 عدد تواندار 20 21 22 23 24 ... 2n   سوال: با توجه به جدول بالا در مرحله ی دهم چند سلول وجود دارد ؟ کاربرد ریاضی در زندگی و عمل دانش آموز عزیز با توجه به شکل فوق اگر خداوند در رأس هرم شکل بالا و انسان ها را به عنوان سلول ها در نظر بگیریم؛ برای رسیدن به قرب الهی بی شمار راههای مختلف را می توان تصور کرد . توان صفر : اگر توان عددی برابر صفر باشد ، آن عدد برابر یک است .               56 = 5 × 5× 5 × 5 ×5 ×5 = 3(5×5) = 3(52)     2- عبارت (am)n با amn فرق دارند . (به نقش پرانتز در عبارت اول دقت کنید.)     3- عدد طبیعی n را مجذور کامل گویند هر گاه پس از تجزیه n به عوامل اول توان هر یک از عامل ها زوج باشد .   مثال Å عدد 144 را در نظر بگیرید و آن را به عوامل اول تجزیه کنید . (تقسیم به عوامل اول)   با توجه به اینکه 2و4 عدد زوج هستند ، بنابراین عدد 144 مجذور کامل است .   4- عدد طبیعی n را مکعب کامل گویند هر گاه پس از تجزیه ی n به عوامل اول توان هریک از عوامل ها مضرب 3 باشد . مثال  عدد 1728 را در نظر بگیرید و آنرا به عوامل اول تجزیه کنید .   با توجه به اینکه 3 و6 مضرب 3 می باشند ، بنابراین عدد 1728 مکعب کامل است .   عدد 144 را می توان مساحت مربعی به ضلع 12 در نظر گرفت . می توان نوشت  12= عدد 144 را مجذور کامل می گویند . عدد 1728 را می توان حجم مکعبی به ضلع 12 در نظر گرفت. 1728 = 12×12×12 = 123 = حجم مکعب می توان نوشت : 1728 = 123 و عدد 1728 را مکعب کامل گویند .  5- اگر یکان عددی 0، 1، 5، 6 باشد ، آن عدد را به توان هر عدد طبیعی برسانیم ، یکان عدد حاصل با یکان عدد اولیه برابر است مثال Å یکان های 10 و 10000 هر دو صفر می باشد.     ۱۰۴ = ۱۰×۱۰×۱۰× ۱۰ = ۱۰۰۰۰ یکان های 11 و 1331 هر دو یک می باشد .    1331 = 11×11×11 = 113 یکان های 15 و 3375 هر دو 5 می باشد .     3375 = 15×15×15 = 153 یکان های 16 و 256 هر دو 6 می باشد .     256 = 16×16 =           دستگاه شمارش :        برای شمارش اشیاء دسته بندی هایی انجام  می شود . معمولی ترین روش برای شمارش اشیاء دسته بندی به صورت یکی ، ده تایی ، صدتایی ، هزارتایی و ... می باشد این نمایش ارزش مکانی اعداد را «دستگاه شمارش دهدهی » می نامند . در طراحی سیستم های رقمی و رایانه ای و رمز گزاری برنامه ها برای نمایش ارزش مکانی رقم ها از دستگاههای شمارش دیگری هم استفاده می شود ، مانند  دستگاه شمارش دو دویی که یکی ، دوتایی ، چهارتایی ، هشت تایی و .... برای نمایش ارزش مکانی رقم ها استفاده می شود . مثال  عدد 313 در دستگاه شمارش دهدهی به صورت 3 صدتایی ، ا ده تایی و 3 یکی  می باشد این عدد را به صورت 313 یا 10(313) می نویسیم و می خوانیم « سیصدو سیزده » صدتایی ده تایی یکی 3 1 3    عدد 1101 در دستگاه شمارش دو دویی به صورت زیر می باشد هشت تایی چهارتایی دوتایی یکی 1 1 0 1 این عدد را به صورت 2(1101) می نویسیم و می خوانیم «یک،یک،صفر،یک در مبنای دو»       مبنا : مبنا پایه و اساسی است که در دستگاههای شمارش  اعداد برای دسته بندی در نظر گرفته می شود .     مثال Å یک شرکت دارو سازی برای دسته بندی قرص های تولید شده در نظر دارد هر 10 عدد قرص را در داخل یک بسته قرار دهدد و هر 10 بسته را داخل یک کار تن 100 تایی و ... پایه و اساسی که در این شرکت دارو سازی برای دسته بندی در نظر گرفته شده است بر مبنای 10 می باشد .       مثال Å یک شرکت تولید کننده ی توپ تنیس روی میز برای دسته بندی توپ های تولید شده در نظر دارد هر 6 عدد توپ را در داخل یک بسته قرار دهد و هر  6 بسته را داخل یک کارتن  36 تایی و ... پایه و اساسی که در این شرکت تولید ی برای دسته بندی در نظر گرفته شده است برمبنای 6 می باشد .   مثال  پایه و اساسی که در ساعت برای زمانبندی استفاده می شود را درنظر بگیرید .   کاربرد ریاضی در زندگی   هر 60 ثانیه برابر یک دقیقه است و هر 60 دقیقه برابر یک ساعت (ثانیه3600 = 60×60) دانش آموز عزیز : اگر شما یکی از ریاضی دانان بزرگ بودید ، برای زمان چه مبنایی به کار می برید؟ یک شبانه روز در طراحی شما چند ساعت محسوب می شود ؟ این طراحی چه تأثیراتی روی کارهای روز مره مردم می گذارد ؟   مثال  با دسته بندی سه تایی 17 کلید را دسته بندی کنید و نتیجه را  در مبنای سه بنویسید .     نه تایی سه تایی یکی 1 2 2 3(122) = 17     مثال  عددی در مبنای 5 به صورت 5(214) نوشته شده است . آن عدد کدام است ؟ 52 51 50 بیست و پنج تایی پنج تایی یکی 2 1 4 59 = (1×4) + (5×1) + (25×2) 1- اگر عدد abcde در مبنای x نوشته شده باشد برای نوشتن این عدد در مبنای 10 به صورت زیر عمل می کنیم x4 x3 x2 x1 x0           x4 x3 x2 x 1 a b c d e     2- در عدد نویسی به مبنای a مجازیم از ارقام  0،1، ....، 1- a  استفاده کنیم .          مثال   در مبنای 10 ، از ارقام 0، 1، 2، 3، 4، 5،6، 7، 8، 9 می توان استفاده کرد .   3- تبدیل مستقیم مبناها :   مثال Å تساوی مقابل را کامل کنید .                                                                               8(         ) = 2(1010) حل : مراحل انجام کار به ترتیب زیر می باشد .                                      8 (   ?   ) = 10(    ?    ) = 2(1010) ابتدا نمایش عدد 2(1010) را در مبنای 10 بدست می آوریم ، سپس نمایش عدد 10 را در مبنای 8      می نویسیم.   ۲۳ ۲۲ ۲۱ 20         هشت تایی چهارتایی دوتایی یکی 1 0 1 0 10=(2×1)+(8×1)   برای تبدیل مستقیم مبنا ها روش هایی وجود دارد که تبدیل مبنا ها را به طور مستقیم امکان پذیر        می سازد . برای آشنایی با این روشها به نکات زیر توجه کنید .   نکته: برای تبدیل مستقیم یک عدد از مبنای 2 به مبنای 4 ، عدد را از سمت راست دو رقم دو رقم جدا کنید و دسته ی دو رقمی را به مبنای 10 ببرید . از کنار هم نوشتن اعداد بدست آمده عدد اولیه کاملاً در مبنای 4 نوشته می شود .   مثال Å تساوی مقابل را کامل کنید :                                                                               4(        ) = 2(10110) حل : از تبدیل مستقیم مبنا ها کمک می گیریم . نکته: برای تبدیل مستقیم یک عدد از مبنای 2 به مبنای 8 عدد داده شده را از سمت راست سه رقم سه رقم جدا کنید و هر دسته ی سه رقمی را به مبنای 10 ببرید . از کنار هم نوشتن اعداد بدست آمده عدد اولیه کاملاً در مبنای 8 نوشته می شود.   مثال  تساوی مقابل را کامل کنید :                                                                                  8(       ) = 2(1010) حل : از تبدیل مستقیم مبنا ها کمک می گیریم . نکته: برای تبدیل مستقیم یک عدد از مبنای 4 به مبنای 2 هر رقم را به صورت یک عدد  دو رقمی در مبنای 2 بنویسید (اگر نیاز شد سمت چپ عدد هم صفر بگذارید ). از کنار هم نوشتن این اعداد دو رقمی عدد اولیه کاملاً در مبنای 4 نوشته می شود .     مثال  تساوی مقابل را کامل کنید :                                                                                     2(       ) = 4(321) حل : از تبدیل مستقیم مبنا ها کمک می گیریم .   نکته: برای تبدیل مستقیم از مبنای 8 به مبنای 2 هر رقم عدد داده شده را بصورت یک عدد سه رقمی در مبنا 2 بنویسید . (اگر نیاز شد سمت چپ عدد هم صفر بگذارید) از کنار هم نوشتن اعداد بدست آمده عدد اولیه کاملاً در مبنای 2 نوشته می شود .   مثال  تساوی مقابل را کامل کنید :                                                                                     2(        ) = 8(327) حل : از تبدیل مستقیم مبنا ها کمک می گیریم .       4-جمع و تفریق مبناها : با توجه به اینکه در عدد نویسی a ، مجازیم از ارقام 0و 1و 2و ... و  1 - a استفاده کنیم . جمع و تفریق مبناها را می توان به صورت مستقیم انجام داد .   1- جمع مبناها         میدانیم:                                                  ?  = 39 + 156 حل :       صدتایی ده تایی یکی + 1   5 3 6 9   1 9 5   حالا با توجه به جدول ارزش مکانی مبنا 2 حاصل جمع مقابل را بدست آورید .     2(?) = 2(11) + 2(10)   چهارتایی دوتایی یکی    + 1 1 0 1 1 0 1     2- تفریق مبناها            میدانیم:                                                                     264 = 279 - 543 حل :   صدتایی ده تایی یکی - 5 2 4 7 3 9   2 6 4     حالا با توجه به جدول ارزش مکانی 2 حاصل تفریق زیر را بدست آورید ؟          2 (?) = 2(111)-2(1011)   هشت تایی چهارتایی دوتایی یکی - 1   0 1 1 1 1 1   0 1 0 0 توضیح اینکه 1 عدد هشت تایی برابر است با 2 عدد چهارتایی جذر:   جذر به معنی ریشه ، پایه است و علامت آن «      » رادیکال می باشد. در ریا ضیات « ریشه گرفتن » عکس عمل « به توان رساندن » می باشد.     جذر حسابی: هر عدد مثبت دو جذر دارد که یکی مثبت است و دیگری منفی 0 جذر مثبت «جذر حسابی » نامیده می شود.       عدد 5 جذر حسابی عدد 25  است و آنرا با نمایش می دهیم .« » فقط برای نمایش جذر مثبت 25 بکار می رود بنابراین می توان نوشت: نکته: توان دوم یک عدد را مجذور یا مربع آن عدد می نامند.     یادآوری : 1-  اعداد منفی جذر ندارند تعریف نشده است. با توجه به اینکه مجذور هر عدد همیشه یک عدد مثبت است می توان گفت که عدد ی وجود ندارد که مجذور آن 36- باشد.   تعریف نشده است.   2-  جمع و تفریق رادیکالها :  برای اینکه دو رادیکال یا چند رادیکال با هم جمع و تفریق شوند لازم است که عبارت داخل رادیکال آن ها با هم برابر باشد. مثال Å   یکی از رادیکال ها را می نویسیم ، سپس ضرایب آن ها را با هم جمع می کنیم. بنابراین می توان گفت:   3-  ضرب و تقسیم رادیکال ها: برای ضرب و تقسیم دو رادیکال شباهت و یکسان بودن عبارتهای داخل رادیکال لازم نمی باشد. مثال                                                                                                         یک رادیکال را می نو یسیم آنگاه مقدار داخل رادیکال را در هم ضرب می کنیم. اگر دو رادیکال ضریب داشته باشند ، اول ضرایب آن ها را در هم ضرب می کنیم. بنابراین می توان گفت:   4- اگر یک عدد مربع کامل باشد و بخواهیم جذر آن عدد را حساب کنیم ، کافی است پایه ها را نوشته و نمادها را نصف کنیم. مثال جذر عدد 900 را حساب کنید.   5- اگر یک عدد دلخواه مربع کامل باشد و بخواهیم جذر آن عدد را حساب کنیم ، کافی است ابتدا عدد مورد نظر را به عامل ها ی اول تجزیه کرده و سپس برای جذر گیری به ترتیب زیر عمل کنیم . پایه ها را نوشته نماها را نصف می کنیم.   مثال Å جذر عدد 19600 را بدست آورید. حل : ابتدا عدد 19600  را به عوامل اول تجزیه می کنیم.     ضرب و تقسیم رادیکال ها: برای ضرب و تقسیم دو رادیکال شباهت و یکسان بودن عبارتهای داخل رادیکال لازم نمی باشد. مثال Å                                                                                                        یک رادیکال را می نو یسیم آنگاه مقدار داخل رادیکال را در هم ضرب می کنیم. اگر دو رادیکال ضریب داشته باشند ، اول ضرایب آن ها را در هم ضرب می کنیم. بنابراین می توان گفت:   -  اعداد منفی جذر ندارند تعریف نشده است. با توجه به اینکه مجذور هر عدد همیشه یک عدد مثبت است می توان گفت که عدد ی وجود ندارد که مجذور آن 36- باشد.   تعریف نشده است.       محاسبه جذر : در شکل زیر مجذور عدد 5 و 6 نمایش داده شده است با توجه به شکل می توان  گفت:   مربعی به مساحت 31 سانتی متر مربع را در نظر بگیرید می خواهیم اندازه ی ضلع مربع را بدست آوریم. حل : با توجه به اینکه  25 = 52  و 36 = 62  می توان گفت : عدد 31 بین دو مجذور 25 و 36 قرار دارد.    6> اندازه ضلع مربع > 5 بنابراین    6> > 5 به عبارت دیگر یعنی جذر عدد 31 دقیق نمی باشد و مقدار تقریبی است. برای بدست آوردن مقدار تقریبی جذر عدد 31 کافی است قسمت های باقی مانده را کنار بگذاریم.     با صرف نظر کردن از مربع کوچک ایجاد شده می توان نوشت: 10 = 5 × 2 = طول مستطیل ( رنگ شده ) 6 = 25 – 31 =  مساحت مستطیل (رنگ شده)      بنابراین اندازه ی ضلع مربع که مساحت آن 31 سانتی متر مربع باشد ، تقریباً برابر است با 6/5. به عبارت دیگر برای محاسبه ی جذر تقریبی عدد 31 می توان به ترتیب زیر عمل کرد:      برای محاسبه ی مقدار تقریبی عدد 31 ، باقیمانده ی جذر را بر دو برابر حاصل جذر تقسیم می کنیم.             مثلث:   مثلث یعنی سه گوشه ، هر سطح سه گوشه ، سه کرده شده در ریاضی اگر سه نقطه  غیر واقع بر یک خط راست را دو به دو به هم وصل کنیم شکلی بدست می آید که آن را مثلث   می گویند    اجزای اصلی مثلث سه نقطه C , B , A  را رأس های مثلث و سه ضلعی BC, AC , AB  را اضلاع مثلث می گویند . سه ضلع و سه زاویه از اجزای اصلی مثلث می باشند     اجزای فرعی مثلث : ارتفاع : پاره خطی که از رأس مثلث به ضلع مقابل آن عمود شود . نیم ساز : پاره خطی که زاویه مثلث را نصف کند و به ضلع مقابل آن محدود باشد . میانه : پاره خطی که رأس مثلث را به وسط ضلع مقابل آن وصل  کند عمود منصف : عمود منصف هر ضلع مثلث خطی  است که از وسط آن بگذرد و بر آن عمود باشد .   انواع مثلت : مثلث متساوی الساقین: مثلثی که دو ضلع آن مساوی باشند . این دو ضلع مساوی را ساق و محل برخورد دو ساق را راس مثلث متساوی الساقین می نامند . ضلع سوم قاعده نام دارد .  مثلث متساوی الاضلاع: مثلثی که سه ضلع آن مساوی باشند . مثلث قائم الزاویه: مثلثی که یک زاویه آن قائمه باشد . ضلع مقابل به زاویه قائمه را وتر گویند . BC  وتر مثلث قائم الزاویه ABC  است.   مجموع زاویه های هر مثلث 180 درجه است .   زاویه ی خارجی مثلث : اگر یکی از ضلع های مثلثی را امتداد دهیم ، امتداد این ضلع با ضلع دیگر مثلث زاویه ای را تشکیل می دهد که آن را زاویه خارجی مثلث می نامیم. مثال Å در شکل مقابل BÂX یک زاویه ی خارجی از مثلث ABC است به طورکلی : در هر مثلث یک زاویه ی خارجی با مجموع دو زاویه داخلی غیر مجاور آن مساوی است .   زاویه های مجاور : مجاور به معنی همسایه است و در هندسه دو زاویه مجاور گویند هر گاه در همسایگی هم  یک ضلع مشترک داشته باشند همچنین دو زاویه را غیرمجاور نامیم هر گاه مجاور هم نباشند .  A۱و A۲ مجاور یکدیگرند.  A۱با B و C غیر مجاور هستند.     قواعد :     1-  در مثلث قائم الزاویه ضلع مقابل به زاویه ی 30 درجه اندازه وتر است مثالÅ  در شکل زیر اندازه ضلع AB را بدست آورید .   .2- در مثلث قائم الزاویه میانه وارد بر وتر نصف وتر است مثال:                     چهار ضلعی ABDC  مستطیل است   3-در مثلث قائم الزاویه  اگر یک زاویه آن 15 درجه باشد ، ارتفاع وارد بر وتر است .   4- در مثلث   قائم الزاویه ضلع مقابل به زاویه 45 در جه اندازه وتر است .   5-در مثلث قائم الزاویه ضلع مقابل به زاویه 60درجه اندازه وتر است .   6-در مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین ارتفاع وارد بر وتر نصف وتر است   7- در مثلث قائم الزاویه مربع ارتفاع وارد بر وتر برابر است با حاصل ضرب دو قطعه ایجاد شده روی وتر .   مثال Å با توجه به شکل مقابل اندازه ارتفاع AH  را بدست آورید . حل:                    8- مساحت هر مثلث با داشتن اندازه ی سه ضلع از دستور بدست می آید (a, b, c اضلاع مثلث و P  نصف محیط مثلث می باشد ) مثال Å مساحت مثلث ABC  را بدست آورید .       وتر و یک زاویه تند (حاده): اگر وتر یک زاویه تند (حاده) از مثلث قائم الزاویه ای با وتر یک زاویه ی تند (حاده) از مثلث قائم الزاویه دیگری مساوی باشند ، آن دو مثلث مساوی اند . دو مثلث قائم الزاویه یABC  و´A´B´C را با توجه به اینکه  می باشد را در نظر بگیرید .   از راه انطباق می توان مساوی بودن این دو مثلث را بررسی کرد . اگر مثلث´A´B´C را طوری رویABC  قرار دهیم که زاویه ی ´B بر زاویه ی B و وتر ´B´C بر وتر BC منطبق شود، مشاهده می کنیم که دو مثلث بر هم منطبق می شوند .   وتر و یک ضلع: اگر وتر و یک ضلع مثلث قائم الزاویه ای با وتر و یک ضلع مثلث قائم الزاویه دیگری مساوی باشند ، آن دو مثلث قائم الزاویه با هم مساویند . دو مثلث قائم الزاویه ی ABC و´A´B´C را با توجه به اینکه می باشد را در نظر بگیرید:    با توجه به اینکه نقطه C  روی عمود CA  قرار دارد و از دو سر پاره خط ´BB به یک فاصله است . می توان گفتC یک نقطه از عمود منصف پاره خط ´BB است بنابراین CA عمود منصف پاره خط ´BB می باشد و می توان نوشت:  ´BA = AB می دانیم : اگر دو مثلث دارای سه ضلع مساوی باشند با هم مساویند به این ترتیب می توان نوشت :       خطوط موازی    دو خط واقع بر یک صفحه را موازی می گوییم هر گاه آن دو خط بر هم منطبق باشند و یا هیچ نقطه ی مشترکی نداشته باشند .مانند دو خط1 d و2 d که با هم موازیند.   می نویسیم: میخوانیم: خط های 1 d و 2 d با هم موازیند.   زاویه ی خارجی مثلث : اگر یکی از ضلع های مثلثی را امتداد دهیم ، امتداد این ضلع با ضلع دیگر مثلث زاویه ای را تشکیل می دهد که آن را زاویه خارجی مثلث می نامیم. مثال  در شکل مقابل BÂX یک زاویه ی خارجی از مثلث ABC است به طورکلی : در هر مثلث یک زاویه ی خارجی با مجموع دو زاویه داخلی غیر مجاور آن مساوی است .   زاویه های مجاور : مجاور به معنی همسایه است و در هندسه دو زاویه مجاور گویند هر گاه در همسایگی هم  یک ضلع مشترک داشته باشند همچنین دو زاویه را غیرمجاور نامیم هر گاه مجاور هم نباشند .  A۱و A۲ مجاور یکدیگرند.  A۱با B و C غیر مجاور هستند.   چهار ضلعی ها: هر چهار ضلعی دارای چهار ضلع و چهار رأس می باشد. دو ضلع چهار ضلعی که در یک رأس  مشترک باشند دو ضلع مجاور نام دارد. دو ضلع که نقطه مشترک ندارند ، دو ضلع مقابل نام دارد.                                          انواع چهار ضلعی ها : 1) متوازی الاضلاع: چهار ضلعی است که اضلاع آن دو بدو موازی باشند  خواص متوازی الاضلاع :  در هر متوازی الاضلاع زاویه های مجاور مکمل اند  و زاویه های مجاور مقابل مساویند . در هر متوازی الاضلاع ضلع های  مقابل با هم برابرند. در هر متوازی  الاضلاع قطر ها یکدیگر را نصف می کنند.   2) مستطیل: چهار ضلعی که تمام زاویه های آن قائمه باشد به عبارت دیگر مستطیل متوازی الاضلا عی است که یک زاویه ی قائمه داشته باشد .   خواص  مستطیل: چون مستطیل نوعی متوازیالاضلاع  است پس تمام  خواص متوازی الاضلاع را داراست . قطر های مستطیل با هم برابرند .   3) لوزی : چهار ضلعی که چهار ضلع آن مساوی باشند لوزی است . خواص لوزی:  چون لوزی نوعی متوازی الاضلاع است پس همه ی  خواص متوازی الاضلا ع را داراست . قطرهای لوزی بر هم عمودند هر قطر لوزی نیمساز دو زاویه ی مقابل لوزی است . 4) مربع : چهار ضلعی است که چهار ضلع آن مساوی و چهار زاویه ی آن قائمه هستند . بنابراین مربع هم نوعی لوزی، هم نوعی مستطیل و در نتیجه نوعی متوازی الاضلاع است. پس تمام خواص آن ها را داراست   ذوزنقه : چهار ضلعی است که فقط  دو ضلع آن با هم موازی باشند . در ذوزنقه دو ضلع موازی را قاعده و دو ضلع غیر موازی را ساق های ذوزنقه می گویند     خواص ذوزنقه: در ذوزنقه  زاویه های مجاور به هر ساق  مکمل یکدیگرند   انواع ذوزنقه :  ذوزنقه قائم الزاویه :  ذوزنقه ای است که یک ساق آن بر دو قاعده عمود شده باشد    ذوزنقه متساوی الساقین : ذوزنقه ای است که دو ساق آن با هم برابر باشد .     1- مجموع  زاویه های داخلی هر چهار ضلعی 360 است A+B+C+D=۳۶۰   2-  مجموع زاویه های خارجی هر n  ضلعی 360 است .   3-  هر گاه از رئوس یک چهار ضلعی چهار خط به موازات قطرها آن رسم کنیم متوازی الاضلا عی بدست می آید که مساحت آن دو برابر مساحت چهار ضلعی اولیه می باشد .   4- مجموع زوایای داخلی هر n  ضلعی از دستور 180×( 2 n -)  بدست می آید  (n ضلعی محدب) مثال   مجموع زوایای داخلی یک هشت ضلعی را بدست آورید .                                                                                                     1080 = 180×6= 180×(2-8)   5- اگز خطی دو خط موازی را قطع کند 8 زاویه به وجود می آید : که کلیه ی زاویه های تند باهم و کلیه ی زاویه ها ی باز با هم مساویند .   عدد گویا :   گویا صفت فاعلی از مصدر گفتن می باشد و در ریاضی هر عدد کسری مانند    و   یا هر عددی که بتوان آن را به شکل یک کسر نوشت را یک عدد گویا می نامیم. مانند 2- ، 0 ، 3+ ،2/3 -، 25/- که به ترتیب به شکل کسرهای   می توان نوشت. به طور کلی هر عددی که بتوان آنرا به صورت کسر   نوشت، به طوریکه صورت و مخرج آن متعلق به اعداد صحیح باشند و مخرج آن مخالف صفر باشد     یک عدد گویا می گویند. مجموعه  اعداد گویا را با حرف Q  حرف اول کلمه ی Quotient به معنی «خارج قسمت» نمایش می دهند .      قواعد حاکم بر عددهای گویا 1-  بین هر دو عدد گویا بی شمار عدد گویا می توان یافت .  مثال  بین دو عدد گویا سه عدد دیگر بنویسید . ابتدا دو عدد را هم مخرج می کنیم .   2- اگر دو عدد گویا داشته باشیم عدد گویا ی بین این دو عدد است یعنی مثال  بین دو عدد گویا   چهار عدد دیگر بنویسید . حل :   3- اگر  دو عدد گویا ی مساوی باشند ، آنگاه (خاصیت طرفین وسطین) مثال Å   4- اگر کسری برابر صفر باشد ، صورت آن  برابر صفر است . مثال   عدد x  را بیابید به طوریکه حاصل   برابر صفر باشد . حل :                                5-اگر کسری برابر یک باشد ، صورت و مخرج آن برابرند .   مثال  عدد x را بیابید به طوریکه حاصل کسر   برابر یک باشد . حل :                                                         6- تقسیم عدد گویا :                                                                              (روش دور در دور نزدیک در نزدیک )                                              مثال  (روش دور در دور نزدیک در نزدیک )                                                         7-دو عدد گویا معکوس یکدیگرند ، هر گاه حاصل ضرب آن ها برابر یک باشد. مثال  معکوس یکدیگرند . و   .   8-در مورد کسر ها ی    داریم : تساوی عددهای گویا : نقطه A  در هر شکل چه عدد ی را مشخص می کند ؟ بین این عددها چه ارتباطی وجود دارد؟             قرینه یک عدد گویا :     علامت یک کسر             در هر یک از شکل های بالا عدد متناظر با بردار آبی 5- می باشد . اگر  بردار آبی را به قسمتهای مساوی تقسیم کنیم  متناظر با هر قسمت میتوان یک تساوی نوشت . از تساوی با لا می توان نتیجه گرفت :       جبر :   جبر به معنی ناچار کردن و کسی را به کاری به زور گماشتن می باشد  و جبر و مقابله بخشی از ریاضی است که در آن برای حل مجهولات حروف و علامات را به جای اعداد به کار می برند . در جبر مجموعه ی اعداد و عملیات آن، به مجموعه ای دلخواه تعمیم داده  می شود در جبر نتایج بدست آمده کلی هستند و در موارد گوناگون کاربرد دارند.             عبارت 2 s=a یک نتیجه ی کلی در مورد مساحت مربع می باشد و این نتیجه ی کلی در موارد گوناگون به ما کمک می کند. مثال  مساحت مربعی به ضلع را بدست آورید    کاربرد حروف:  کاربرد حروف یعنی به کار گرفتن ارقام و حروف به جای اشیاء که در حل مسائل ریاضی از جمله معماهای عددی بسیار مفید واقع می شود.            به تساوی های بالا دقت کنید . این تساوی ها نشان می دهند که چگونه از ارقام  و حروف به جای اشیاء استفاده می کنیم    عبارت جبری:  عبارتهایی نظیر 3a + ۲b + ۵- یا 2¡ که در آن ها با استفاده از حروف ، روابط بین اعداد را بررسی می کنند، عبارت جبری می نامیم.   جلمه جبری: در عبارت جبری 3a + ۵lb + ۴a - ۳b هر کدام از عبارتهای -۳b ,۴a , ۵lb , ۳a  یک جمله ی جبری است . هر جمله ی جبری از دو قسمت تشکیل می شود: قسمت حرفی و قسمت عددی (ضریب عددی )  مانند  3aکه در آن a قسمت حرفی و 3 ضریب عددی است. جمله های متشابه: در عبارتهای جبری ، دو یک جلمه ای را متشابه گوییم هر گاه قسمت حرفی آن ها یکسان باشند : مانند 3a , ۵a مثال Åدر عبارت جبری زیر جملات متشابه مشخص شده اند.  مقدار عددی یک عبارت جبری به ازای مقادیر عددی مختلف که برای حروف معین می شود می توان مقدار عددی یک عبارت جبری را محاسبه کرد. مثال  مقدار عددی عبارت جبری زیر را به ازای اعداد داده شده حساب کنید.   معادله   معادله به معنی برابر کردن، مساوی کردن، هم وزن کردن دو چیز و هم وزنی می باشد و در ریاضی تساوی دو عبارت جبری که به ازای مقادیر معینی صحیح باشد.به بیان ساده تر هر تساوی به صورتa + ۵ =۱۳ یا ۴x =۲۰ را یک معادله می نامیم که اولی به ازای عدد 8 و دومی به ازای عدد 5 صحیح است.   به تساوی بالا دقت کنید اگر محیط این مثلث برابر 18 سانتیمتر باشد ، اندازه ی ضلع آن را پیدا کنید حل: با توجه به تساوی بالا معادله ی مقابل را می توان نوشت: ۳a = ۱۸   پس اندازه ی هر ضلع برابر 6 سانتیمتر می باشد   روش حل یک معادله : عبارت جبری  a + ۵ را در نظر بگیرید به ازای چه مقدار a  مقدار عددی a + ۵  مساوی 12 می شود . یعنی a  چه عددی باشد تا تساوی a + ۵ = ۱۲  درست باشد.     مساحت:   مساحت به معنی اندازه گرفتن زمین، پیمایش زمین، سطح محوطه و زمینی و سطح به معنی رویه، بالای هر چیز که هموار و پهن باشد؛ در اصطلاح هندسه اندازه ی سطح هر شکل هندسی را مساحت می نامیم.         مساحت شکلهای هندسی:   1) مساحت مربع مجذور یک ضلع = مساحت مربع S = a۲     2) مساحت مستطیل عرض  × طول = مساحت مستطیل S = a × b = ab     3) مساحت متوازی الاضلاع ارتفاع × قاعده = مساحت متوازی الاضلاع S =  a × h = ah       4) مثلث 2 ÷ ( ارتفاع × قاعده ) = مساحت مثلث S = ah       5) لوزی 2 ÷ ( حاصلضرب دو قطر ) = مساحت لوزی S = ab       6) ذوزنقه 2 ÷ { ارتفاع × ( قاعده ی کوچک + قاعده بزرگ ) } =  مساحت ذوزنقه     7) دایره  ۳/۱۴× شعاع × شعاع  = مساحت دایره S =،۲ ۳/۱۴   مساحت دایره اگز یک دایره را به وسیله ی قطرهای آن به 6 قسمت مساوی تقسیم کنیم و با توجه به شکل زیر آنرا ببریم و کنار هم قرار دهیم، مساحت شکل حاصل با مساحت دایره برابر است.   اگر دایره را به 12 قسمت مساوی تقسیم کنیم و قسمتها را کنار هم قرار دهیم شکل زیر بدست می آید.     اگر دایره ای را به 24 قسمت مساوی تقسیم کنیم و قسمتها را کنار هم قرار دهیم شکل زیر بدست می آید.    چنانکه مشاهده می کنید هر قدر تعداد قسمتها زیاد می شود شکل حاصل از کنار هم قرار دادن این قسمتها به یک مستطیل نزدیکتر می شود که مساحت آن با مساحت دایره برابر است. طول این مستطیل با نصف محیط دایره و عرض  آن با شعاع دایره برابر است. پس، شعاع × نصف محیط دایره = مساحت دایره اندازه شعاع را باr  ، عدد 14/3 را با  و مساحت دایره را با A نشان دهیم.   بنابراین، مساحت دایره برابر است با حاصلضرب عدد  در مجذور شعاع   تقارن :       تقارن به معنی قرین شدن با یکدیگر، با هم یار و دوست گردیدن می باشد و در اصطلاح هندسه وجود تقارن نشان دهنده ی وجود قرینه شدن نسبت به یک نقطه یا نسبت به یک خط (محور) می باشد.              تقارن محوری: چنانچه قرینه نسبت به یک خط وجود داشته باشد، تقارن را تقارن محوری نامند   و خطی که شکل را به دو قسمت قرینه تقسیم می کند، «محور تقارن»  آن شکل نامیده        می شود.   تقارن محوری     تقارن مرکزی: چنانچه قرینه نسبت به یک نقطه وجود داشته باشد، تقارن را تقارن مرکزی نامند و آن نقطه که قرینه ی هر نقطه از شکل نسبت به آن، نقطه ای ازخود شکل است را «مرکز تقارن» می گوییم.       تقارن مرکزی    کاربرد تقارن: 1- تقارن نه فقط به عنوان یک مفهوم جالب و شگفت انگیز هندسی مورد توجه است ، بلکه وجود تقارن در ساختمان ملکولهای اجسام و بلورهای آن باعث می شود که دانشمندان بتوانند خواص این اجسام را به طور دقیق بررسی می کنند، اگر با کمی دقت به اطراف خود، به گیاهان، اجسام و موجودات نگاه کنیم متوجه خواهیم شد که شکل بیشتر آن ها متقارن است و همین متقارن بودن زیبایی خاصی به آن ها بخشیده است. وجود تقارن در ساختمان بدن انسان نیز یکی ار عامل های اساسی زیبایی است.       2- هر قطر دایره یک محور تقارن برای دایره است. بنابراین دایره متقارن ترین شکل هاست. به همین دلیل افلاطون فیلسوف بزرگ یونانی دایره را زیباترین شکل مسطحه می نامد اشکالی که قابل قسمت به بخش های برابر قابل انطباق نباشند، نامتقارن نامیده می شوند.       حجم :   حجم به معنی برآمدگی  و ستبری و جسامت چیزی است و در اصطلاح هندسه گنجایش و ظرفیت جسم و آن مقدار از فضا که جسم آنرا اشغال می کند ، می باشد.      محاسبه ی حجم اجسام : حجم مکعبی به ضلع یک سانتیمتر یک سانتیمتر مکعب است.   دستور محاسبه ی حجم : حجم هر یک از اجسام هندسی برابر است با: حاصلضرب مساحت قاعده آن در ارتفاع آن.   مثال Åحجم شکل مقابل را حساب کنید.   حل :                                                                 مساحت مربع – مساحت مستطیل = مساحت قاعده                                                                            5 = (1 × 1) – (3 × 2) = (cm۳)   (سانتیمتر مکعب)   50=  10×5   =  ارتفاع  × مساحت قاعده  = حجم    قواعد     1- حجم مکعبی به ضلع a  برابر است با a3 . 2- مساحت جانبی مکعبی به ضلع a  برابر است با 4a2 3-  مساحت کل مکعبی به ضلع a  برابر است با  6a2 4- اگر ضلع مکعبی را m  برابر کنیم حجم آن 3 m برابر و مساحت جانبی و مساحت کل آن 2 m  برابر   می شود. مثال حجم مکعبی به ضلع a  برابرa3 است . اگر ضلع مکعب را 4  برابر کنیم حجم و مساحت جانبی آن چند برابر می شوند؟    حل:   حجم 64برابر می شود  43 =64     مساحت جانبی 16برابر می شود   42=16   5 – حجم منشور برابر است با حاصل ضرب مساحت قاعده در ارتفاع 6- مساحت جانبی منشور برابر است با محیط قاعده در ارتفاع 7- مساحت کل منشور برابر است با مساحت جانبی به اضافه ی مساحت دو قاعده مثال  قاعده ی یک منشور سه پهلو مثلث قائم الزاویه است. که ضلعهای آن 3 و 4 و 5 سانتیمتر است. اگر ارتفاع منشور  10cm باشد ، حجم ، مساحت جانبی و مساحت کل منشور را حساب کنید؟  حل: 12 = 5 + 4 + 3 = محیط قاعده cm۳  (سانتیمتر مکعب ) 60 =10 × 6 =  حجم  منشور cm۳  (سانتیمتر مربع )  120 =10 × 12 =  مساحت جانبی cm۳  (سانتیمتر مربع  )  132 =(6 + 6) + 120 =  مساحت کل منشور:  منشور به معنی پراکنده، نشر شده، زنده شده، مبعوث است. در اصطلاح هندسه نام شکلی است که دو قاعده دارد که دو چند ضلعی مساوی هستند و بدنه ی منشور        (سطح جانبی منشور) از مستطیل ها یا متوازی الاضلاع ها تشکیل شده است.                          
+ نوشته شده در  سه شنبه بیست و نهم فروردین 1391ساعت 15:35  توسط محمد امین امانی  |